Relations d'appartenance équivalentes (1) - Corrigé

Énoncé

Pour tout  \(z \in \mathbb{C }\setminus \{i \}\) , on note  \(Z=\dfrac{z-2i}{2i+z}\) . Montrer que  \(Z \in \mathbb{U}\ \ \Longleftrightarrow \ \ z \in \mathbb{R}\) .

Solution

\(Z \in \mathbb{U}\Longleftrightarrow \lvert Z \lvert = 1 \Longleftrightarrow \lvert \dfrac{z-2i}{2i+z} \lvert = 1 \Longleftrightarrow \dfrac{\lvert z-2i \lvert}{\lvert 2i+z \lvert}=1\Longleftrightarrow \lvert z-2i \lvert = \lvert 2i+z \lvert\)

On pose  \(z=x+iy\)  avec \(x\)  et \(y\) réels.

On a alors :

\(Z \in \mathbb{U}\Longleftrightarrow \lvert x+iy-2i \lvert = \lvert 2i+x+iy \lvert \Longleftrightarrow \sqrt{x^2+(y-2)^2}=\sqrt{x^2+(y+2)^2}\)

\(\Longleftrightarrow x^2+(y-2)^2=x^2+(y+2)^2\)  les deux racines sont positives

\(\Longleftrightarrow x^2+y^2-4y+4=x^2+y^2+4y+4 \Longleftrightarrow -4y=-4y \Longleftrightarrow y=0\Longleftrightarrow z \in \mathbb{R}.\)